asal sayılar

• 7 Mayıs 2020 Perşembe 17:38:08

Asal sayılar ve diğer sayılar
Asal sayı, 1’e ve kendisinden başka bir sayıya bölünmeyen sayı demektedir. Ellerinizin sayısı, ilk
asal sayıdır; 1 ve kendisi dışında bir sayıya bölünmez. Diğer önemli nokta ise 2’den başka çift asal sayı yoktur. Kimya için elementler ne kadar önemliyse matematik için de asal sayılar o kadar önemlidir.
Çünkü bir sayı elde etmek için gerekli malzemeler
listesinde en az iki tane asal sayı vardır ve elde edeceğiniz sayı, asal sayı değildir. Örneğin 13 ve 5 birer asal sayıdır ve bunları çarparsak 65 sayısını elde
ederiz. 65 asal sayı değildir, çünkü 1 ve kendisi dışında bir sayıya, 5’e bölünebilir.
2, 3, 5, 7, 11... diye sonu gelmez bir biçimde uzar
gider asal sayılar. Uzar gider, ama bir sonraki asal
sayıyı bulmak için (bir sonraki doğal sayıyı bulurken 1 eklediğimiz gibi) herhangi bir yöntem yok.
Bir sonraki asal sayıyı bulmak için yardımınıza koşacak dört işlem bilginizden başka bir formül ya da
yöntem yok.
Asal sayıların tarihine baktığımızda asal sayılar
üzerine çalışmalar yapan uygarlıkların asal sayıları
1’den başlattığını görüyoruz. İlk bakışta 1 asal sayı
gibi görünüyor olabilir, sonuçta sadece 1’e ve kendisine bölünebiliyor. Ancak 1’in asal sayı olmadığını bir önceki paragraf yardımıyla 89 kelime kullanarak ispatlayabiliriz. Nasıl mı? Bunun için gözlerinizi bu cümlenin bir altındaki paragrafa kaydırın.
Bir sayı elde etmek için en az iki asal sayıya ihtiyacımız olduğunu ve bu iki asal sayıyı çarparak
asal olmayan bir sayı elde ettiğimizi belirtmiştik.
Şimdi 1’e bakın. 1 ile 2’yi çarparsanız elde ettiğiniz sayı 2’dir. Aynı şekilde hemen sonraki asal sayı olan 3 ile 1’i çarparsanız da 3 elde edersiniz. Görüldüğü gibi 1’in çarpmadaki özelliği sizi başladığınız noktaya geri getirmesidir. Oysa iki asal sayının çarpımının, sizi asal olmayan bir sayıyla tanıştırması gerekir. Buradan yola çıkarak 1’in asal sayı
kurallarını ihlal ettiğinin tartışılmaz bir gerçek olduğunu şüphe etmeden söyleyebiliriz.
Asal Sayıların
Hikâyesi
Ellerinize bakın. 2 eliniz, her elinizde 5 parmağınız, her parmağınızda
2 eklemle ayrılan 3 bölüm var. Parmağınızdaki boğumları düşündüğünüzde
üst boğumun alt boğuma oranı pi sayısını verir mi?
Peki, parmağınızın tamamının üst boğuma oranı pi sayısını verir mi?
Bu bir tesadüf olabilir mi? Bu yazı doğanın daha birçok yerinde bulunan
asal sayıların hikâyesi.

Doğanın dili asal sayıları sever
Doğada asal sayıların da söz hakkı olduğu tartışılmaz. Bu konuda çalışma yapan matematikçiler
arasında akla gelen ilk isimlerden biri İtalyan uyruklu Leonardo Fibonacci’dir. Fibonacci 1202 yılında tavşanların üreme düzeni üzerine yaptığı araştırmanın sonucunda, doğanın diline ilişkin önemli
bir buluşa imza attı.
Biri erkek biri dişi olmak üzere bir çift tavşanınız olduğunu düşünün. Dişi olanın her ay bir erkek
ve bir dişi olmak üzere, üreyebilen tavşanlar doğurduğunu varsayın. 1. ay tavşan çiftiniz olgunlaşsın. 2.
ayın sonunda ise yavruları doğsun. 3. ayda bir çift
olgun tavşanınız ve bir çift olgunlaşmamış tavşanınız olur. 3. ayın sonunda olgunlaşmış tavşanınız bir
çift yavru daha doğurur. 4. ay ise ilk tavşanınız ve 3.
ay olgunlaşan tavşanlarınız birer çift doğurur. Sonuç olarak ilerleyen aylarda tavşan çiftlerinin sayısı
şöyle bir dizi oluşturur:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Fibonacci’nin bulduğu bu sayı dizisinin gizemini açığa çıkaralım. Bu dizideki herhangi bir sayının
kendisini ve kendisinden bir önceki sayıyı toplarsanız, bir sonraki ay kaç tavşan çiftiniz olacağını bulursunuz. Doğada bu diziyi sevenler sadece tavşanlar değil. Ayçiçeklerinin yaprak sayısı genellikle Fibonacci sayılarından birini verir, 55 ya da 89 yapraklıdırlar. Trilyumun 3, menekşenin 5, hezeran çiçeğinin 8, kadife çiçeğinin 13, hindibanın 21 yaprağı vardır. Eğer bir gün bu çiçeklerin yapraklarını
saymaya kalkışırsanız ve yaprak sayısı eksik çıkarsa
bilin ki o kadar sayıda yaprak uçup gitmiştir!
Şimdi de bir kaç meyveye göz atalım. Muzu keserseniz 3 halka, elmayı keserseniz 5 köşeli yıldız, hurmayı keserseniz de 8 köşeli yıldız görürsünüz. Fibonacci sayılarına canlılığın olduğu her yerde rastlamak mümkün!
Salyangozlarda da Fibonacci sayı dizisini görebiliriz. Yavru bir salyangoz büyüdükçe kabuğunda
yeni odacıklar oluşur. Her bir oda kendinden önceki iki odanın toplamı kadardır. Sonuçta düzgün
bir spiral ortaya çıkar.
Fibonacci sayıları ile pi sayısı arasında da ilginç
bir ilişki vardır. Fibonacci dizisindeki ardışık iki
sayının oranı, sayılar büyüdükçe pi sayısına yaklaşır. Ayrıca Fibonacci sayıları ile asal sayılar arasında da bir bağlantı vardır. Örneğin 3 bir asal sayıdır ve 3. Fibonacci sayısı bizi 2’ye götür, asal sayıdır. Aynı şekilde 11 asal sayıdır ve 11. Fibonacci sayısı bizi 89’a götürür, asal sayıdır. Ancak bu yöntem her zaman işe yaramaz. 19 bir asal sayıdır ve
19. Fibonacci sayısına gittiğimizde 4181’i görürüz.
4181 asal sayı değildir. 37 ile 113’ün çarpımına eşittir. Şu ana kadar hiçbir matematikçi Fibonacci sayılarının çoğunu asal sayıların oluşturduğunu kanıtlayamadı. Çözülememiş asal sayı problemlerinden biri de bu.
Ünlü adaşlar
“Leonardo” deyince muhtemelen aklınıza Leonardo da Vinci gelecektir. Leonardo da Vinci, adaşı Leonardo Fibonacci’nin altın oranını ünlü Mona
Lisa tablosunda kullanmıştır. Bu tablonun boyunun
enine oranı altın orandır. Aynı oranlar Mona Lisa’nın
yüzünün etrafına çizilen dikdörtgende de vardır.

>>>
Asal Sayıların Hikâyesi
Bu dikdörtgeni göz hizasında çizilen bir çizgiyle
ikiye ayırırsanız, yine altın oranı elde ettiğinizi göreceksiniz.
Satranç tahtasından
asal sayılara doğru
Satrançla ilgili efsanelerden biri de bu oyunu
Hindistanlı bir matematikçinin icat ettiği yönündedir. Matematikçimizin bulduğu satrancı çok beğenen hükümdar matematikçiye “dile benden ne
dilersen” demiş. Matematikçi de hükümdardan ilk
satranç karesine 1 pirinç tanesi , ikinci kareye 2,
üçüncü kareye 4, dördüncü kareye 8, beşinci kareye 16 pirinç tanesi koymasını ve böylece her bir karedeki pirinç sayısının önceki karedeki pirinç sayısının 2 katı olacak şekilde devam etmesini istemiş.
Bu kadar basit bir istek karşısında önce çok şaşıran hükümdar başlamış pirinç tanelerini yerleştirmeye. İlk karelerde pirinçleri rahatlıkla yerleştirebiliyormuş, ancak karelerde ilerledikçe zorlanmaya
başlamış. 16. kareye geldiğinde uşaklarından 1 kilo pirinç istemiş. İlerleyen karelerde ise uşaklar pirinci artık el arabaları ile getirmek zorunda kalmış.
Sonuçta hükümdar son kare olan 64. kareye ulaşamamış. Daha sonra da servetinin yarısını matematikçiye vermek zorunda kalmış.
Bu deneyi bugün yapmaya karar vermiş olsak,
64. kareye ulaştığımızda toplam pirinç miktarı
yaklaşık olarak son bin yılda üretilen pirinç miktarı kadar olacaktır.
Efsanemiz ile asal sayılar arasındaki ilişkiye gelelim. Yunanlı matematikçilerin asal sayıların sonsuza gittiğini ispatlamaya çalışmasından beri, matematikçiler çok büyük asal sayılar bulmak için
formüller geliştirdi. Bu formüllerden birini de
Fransız papaz Marin Mersenne geliştirdi. Mersenne, 17. yüzyılda sanki bir e-posta sunucusu gibiydi.
Dünyanın dört bir yanından kendisine gelen mektupları inceliyor ve bu mektuplardaki fikirleri onları daha da geliştirebileceğini düşündüğü insanlara iletiyordu.
Mersenne’nin geliştirdiği formül, satranç tahtasında asal sayı kadar kare ilerlerseniz ve ilerlerken
de karelerdeki pirinç sayısını toplarsanız bir asal
sayı elde edeceğinizi söylüyordu. İlk asal sayı kadar
gidersek 1+2=3 pirinç tanesi ile karşılaşırız ve bu
bir asal sayıdır. Aynı şekilde beşinci kareye kadar
ilerlersek 1+2+4+8+16=31 pirinç tanesi elde ederiz. Bu da bir asal sayıdır.
Mersenne bu yönteme gönülden bağlıydı, ama
yöntem işe yaramadı. 11 bir asal sayıdır ve 11 kare ilerlersek 2047 pirinç tanesi sayarız. Ancak bu
sayı 23 ile 89’un çarpımına eşittir ve asal sayı değildir. Formülün her zaman işe yaramadığı doğru,
ama bazı büyük asal sayıların keşfedilmesine yardımcı olmuştur.
Kaynaklar
Herscovici, A., Matematik Masalları, Kırmızı Kedi Yayınevi, Mart 2012.
Du Sautoy, M., Bir Asal Sayı Bir Kareköke Dedi ki, Kırmızı Kedi Yayınevi,
Haziran 2011.
Stewart, I., Doğanın Sayıları, İzdüşüm Yayınları, Kasım 2000.
www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html
monalisasecrets.com/fibonacci-mona-lisa/