https://tr.wikipedia.org/wiki/Vekt%C3%B6r

Vektör
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Başlığın diğer anlamları için Vektör (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.
Vektör veya yöney, sayısal büyüklüğü ve birimi yanında, skaler niceliklerden farklı olarak yönü de olan niceliktir. Hız, kuvvet, ivme ve ağırlık örnek birer vektörel niceliktir. Vektörler bir sayı (skaler) ile veya başka bir vektör ile çarpılabilir ve bölünebilir. Aynı zamanda yönü değiştirilmemek şartı ile ötelenebilirler. Vektörlerin yönlü doğru parçalarından farkı budur. Yönlü doğru parçalarının koordinat sistemindeki yeri sabitken, vektörler ötelenebilirler.

İçindekiler [gizle]
1 Köken
2 Gösterimi
3 Soyut tanımı
3.1 Gösterimi
3.2 Eşitlik
3.3 Vektör toplamı
3.4 Skaler (sayıl) ile çarpma
3.5 Doğrudan çarpım (tensör çarpımı)
4 Konum (yer) vektörü
5 Standart temel vektörler
6 Bir vektörün normu
7 İki vektörün birbiriyle çarpımı
7.1 İç (Skaler) çarpım ( {displaystyle {overrightarrow {G}}cdot {overrightarrow {H}}} {displaystyle {overrightarrow {G}}cdot {overrightarrow {H}}})
7.1.1 Bileşenleri türünden çarpımı
7.1.2 Aralarındaki açı türünden çarpımı
7.2 Vektörel çarpım ( {displaystyle {overrightarrow {G}} imes {overrightarrow {H}}} {displaystyle {overrightarrow {G}} imes {overrightarrow {H}}})
7.3 Kaynakça
7.4 Dış bağlantılar
Köken[değiştir | kaynağı değiştir]
İngilizce'de bu yapı için kullanılan sözcük vector dür. Kökeni, "taşımak"/"bir yöne aktarmak"/"göndermek" anlamına gelen "vehere" Latince fiil gövdesidir[1]. Sözcüğün anlamı "taşıyıcı"/"yöncü" olarak düşünülebilir. Bu yüzden olabilir ki Türkçe'de (büyük ihtimalle Fransızca'dan devşirilmiş olan) vektör karşılığından sonra yöney karşılığı kullanılmaktadır[2].

Gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Vector arrow pointing from A to B
Fiziksel vektörler veya geometrik vektörler, başlangıç noktası A, bitim noktası B olan [AB] doğru parçasına yönlü doğru parçası denir. Bu vektör;

{displaystyle {overrightarrow {mathrm {A} mathrm {B} }}} {displaystyle {overrightarrow {mathrm {A} mathrm {B} }}}
ile gösterilir.

Ok vektörün yönünü gösterir. Doğru parçasının uzunluğu ise, vektör büyüklüğü ile doğru orantılıdır.

Notation for vectors in or out of a plane.svg
İki boyutlu bir koordinat düzleminde; bazen bir vektör koordinat düzlemine dik olarak gösterilmesi gerekebilir. Bir dairenin merkezinde bir nokta bulunursa (Unicode U+2299 ⊙), bu sembol yönü gözlemciye doğru olan bir vektörü göstermektedir. Bir dairenin içinde bir çarpı işareti bulunursa (Unicode U+2297 ⊗), bu sembol yönü düzlemin arkasına doğru olan bir vektörü göstermektedir. Bu semboller, bir savaş okunun ucunun görüntülenmesi ve bir savaş okunun arka kanatlarının görüntülenmesi gibi düşünülebilir.

Soyut tanımı[değiştir | kaynağı değiştir]
Soyut olarak vektörler , bir F cisminin üzerine tanımlı bir vektör uzayının öğeleridir. Vektörler bu cisim üzerine tanımlanmış bir denklik bağıntısı yardımıyla tanımlanabilir. {displaystyle a,b,c,din F^{n}=F imes F imes cdots imes F} {displaystyle a,b,c,din F^{n}=F imes F imes cdots imes F} (n tane) olsun. a öğesi ile b öğesi,ancak bileşenlerin toplamı olarak a+d=b+c ise bağıntılıdır. Daha biçimsel olmak gerekirse

{displaystyle asim bLeftrightarrow forall iin {1,2,cdots ,n}:quad a_{i}+d_{i}=b_{i}+c_{i}} {displaystyle asim bLeftrightarrow forall iin {1,2,cdots ,n}:quad a_{i}+d_{i}=b_{i}+c_{i}}
şeklinde tanımlanır ki burada {displaystyle a_{i}in F} {displaystyle a_{i}in F}'ler a noktasının koordinatlarıdır ve +işlemi F cismine aittir.

Bu bağıntının bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde vektör, denklik sınıflarıdır. Böylece denklik sınıfı temsilcisini koyu harfle gösterirsek, bir vektör

{displaystyle mathbf {a} ={a|asim b}} {displaystyle mathbf {a} ={a|asim b}}
olarak tanımlanmış olur. Daha açık bir biçimde bir vektör,

{displaystyle mathbf {a} =(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},cdots ,a_{n}-b_{n})=(c_{1}-d_{1},c_{2}-d_{2},cdots ,c_{n}-d_{n})} {displaystyle mathbf {a} =(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},cdots ,a_{n}-b_{n})=(c_{1}-d_{1},c_{2}-d_{2},cdots ,c_{n}-d_{n})}
şeklinde düşünülebilir.

Gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]
Bir vektör çok çeşitli şekillerde gösterimlenebilir. En yaygın gösterimler, üzerinde bir ok işareti ( {displaystyle {vec {a}}} {displaystyle {vec {a}}}) ya da koyu harf ( {displaystyle mathbf {a} } {displaystyle mathbf {a} }) gösterimidir. Oklu gösterimin avantajı el yazılarında kolaylıkla kullanılabilir olmasıdır. Ancak baskı ve sayısal metinlerde koyu harf kullanmak adettir.

Vektörün bileşenleriyle gösteriminde ise genellikle sıralı n-li kullanılır.

{displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},cdots ,a_{n})} {displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},cdots ,a_{n})}
Yer yer (konunun veriliş tarzına bağlı olarak) satır ya da sütun dizey gösterimi de yeğlenir.

{displaystyle mathbf {a} ={egin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&cdots &a_{n}end{bmatrix}}} {displaystyle mathbf {a} ={egin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&cdots &a_{n}end{bmatrix}}} ya da {displaystyle mathbf {a} ={egin{bmatrix}a_{1}\a_{2}\cdots \a_{n}end{bmatrix}}} {displaystyle mathbf {a} ={egin{bmatrix}a_{1}\a_{2}\cdots \a_{n}end{bmatrix}}}
Yine yaygın gösterimlerden biri birim vektör gösterimidir.

{displaystyle mathbf {a} =a_{1}mathbf {i} _{1}+a_{2}mathbf {i} _{2}+cdots +a_{n}mathbf {i} _{n}} {displaystyle mathbf {a} =a_{1}mathbf {i} _{1}+a_{2}mathbf {i} _{2}+cdots +a_{n}mathbf {i} _{n}}
ki burada

{displaystyle mathbf {i} _{1}=(1,0,cdots ,0)} {displaystyle mathbf {i} _{1}=(1,0,cdots ,0)}
{displaystyle mathbf {i} _{2}=(0,1,0,cdots ,0)} {displaystyle mathbf {i} _{2}=(0,1,0,cdots ,0)}
{displaystyle vdots } {displaystyle vdots }
{displaystyle mathbf {i} _{n}=(0,cdots ,0,1)} {displaystyle mathbf {i} _{n}=(0,cdots ,0,1)}
alınabilir.

Bir vektör

{displaystyle mathbf {a} =sum _{j=1}^{n}a_{j}mathbf {i} _{j}} {displaystyle mathbf {a} =sum _{j=1}^{n}a_{j}mathbf {i} _{j}}
şeklinde düşünüldüğünde Einstein toplam uzlaşımı kullanılarak

{displaystyle a=a_{j}mathbf {i} _{j}quad quad quad (j=1,2,cdots ,n)} {displaystyle a=a_{j}mathbf {i} _{j}quad quad quad (j=1,2,cdots ,n)}
şeklinde gösterilebilir. Bu gösterim, toplam simgesinden kurtulmada ve bileşenleri temsil edecek şekilde bir kolaylık sağlamaktadır. Genellikle tensör gösterimi olarak anılır.

Eşitlik[değiştir | kaynağı değiştir]
Ancak vektörlerden birinin her bileşeni karşılıklı olarak diğerininkine eşitse bu iki vektör eşittir.

{displaystyle mathbf {a} =mathbf {b} } {displaystyle mathbf {a} =mathbf {b} }
Vektör toplamı[değiştir | kaynağı değiştir]
Vector addition.svg
İki vektörün toplamı üçüncü bir vektöre eşittir. 1.şekil parelelkenar metodu,2.si ise uç uca ekleme metodudur.

{displaystyle mathbf {a} +mathbf {b} } {displaystyle mathbf {a} +mathbf {b} } {displaystyle =(a_{1}mathbf {i} _{1}+a_{2}mathbf {i} _{2}+cdots +a_{n}mathbf {i} _{n})+(b_{1}mathbf {i} _{1}+b_{2}mathbf {i} _{2}+cdots +b_{n}mathbf {i} _{n})} {displaystyle =(a_{1}mathbf {i} _{1}+a_{2}mathbf {i} _{2}+cdots +a_{n}mathbf {i} _{n})+(b_{1}mathbf {i} _{1}+b_{2}mathbf {i} _{2}+cdots +b_{n}mathbf {i} _{n})}
{displaystyle =(a_{1}+b_{1})mathbf {i} _{1}+(a_{2}+b_{2})mathbf {i} _{2}+cdots +(a_{n}+b_{n})mathbf {i} _{n}} {displaystyle =(a_{1}+b_{1})mathbf {i} _{1}+(a_{2}+b_{2})mathbf {i} _{2}+cdots +(a_{n}+b_{n})mathbf {i} _{n}}
{displaystyle ={egin{bmatrix}a_{1}+b_{n}\a_{2}+b_{n}\cdots \a_{3}+b_{n}end{bmatrix}}} {displaystyle ={egin{bmatrix}a_{1}+b_{n}\a_{2}+b_{n}\cdots \a_{3}+b_{n}end{bmatrix}}}
Skaler (sayıl) ile çarpma[değiştir | kaynağı değiştir]
Bir vektör uzayında, skaler ve vektörler arasında bir çarpma ve dağılma olması gerekir. r,s sayılları F cismine ait olsun. O halde {displaystyle mathbf {a} } {displaystyle mathbf {a} }, {displaystyle mathbf {b} } {displaystyle mathbf {b} }vektörleri için,

Sayıl ile birleşme: {displaystyle r(smathbf {a} )=(rs)mathbf {a} } {displaystyle r(smathbf {a} )=(rs)mathbf {a} }
Sayıl toplaması üzerine dağılma: {displaystyle (r+s)mathbf {a} =rmathbf {a} +smathbf {a} } {displaystyle (r+s)mathbf {a} =rmathbf {a} +smathbf {a} }
Vektör toplamı üzerine dağılma: {displaystyle r(mathbf {a} +mathbf {b} )=rmathbf {a} +rmathbf {b} } {displaystyle r(mathbf {a} +mathbf {b} )=rmathbf {a} +rmathbf {b} }
Sayıl birim öğe ile çarpma: {displaystyle 1mathbf {a} =mathbf {a} } {displaystyle 1mathbf {a} =mathbf {a} }
özellikleri sağlanır.

Genel olarak vektörle skalerle çarpması, vektörün her bileşeninin skaler ile çarpılmasıdır.

{displaystyle rmathbf {a} ={egin{bmatrix}ra_{1}&ra_{2}&cdots &ra_{n}end{bmatrix}}} {displaystyle rmathbf {a} ={egin{bmatrix}ra_{1}&ra_{2}&cdots &ra_{n}end{bmatrix}}}
Doğrudan çarpım (tensör çarpımı)[değiştir | kaynağı değiştir]
İki vektörün doğrudan çarpımının sonucu ne bir vektördür ne bir skalerdir, bir ikiçtir (dyad).

{displaystyle mathbf {a} mathbf {b} ={egin{bmatrix}a_{1}\a_{2}\a_{3}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}b_{1}&&b_{2}&&b_{3}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}a_{1}b_{1}&&a_{1}b_{2}&&a_{1}b_{3}\a_{2}b_{1}&&a_{2}b_{2}&&a_{2}b_{3}\a_{3}b_{1}&&a_{3}b_{2}&&a_{3}b_{3}end{bmatrix}}} {displaystyle mathbf {a} mathbf {b} ={egin{bmatrix}a_{1}\a_{2}\a_{3}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}b_{1}&&b_{2}&&b_{3}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}a_{1}b_{1}&&a_{1}b_{2}&&a_{1}b_{3}\a_{2}b_{1}&&a_{2}b_{2}&&a_{2}b_{3}\a_{3}b_{1}&&a_{3}b_{2}&&a_{3}b_{3}end{bmatrix}}}
Bu çarpıma, eğer vektörler eş boyutluysa, çiftli (dyadic) çarpım denir. Eğer vektöreri birim vektörlerle ifade edersek

{displaystyle mathbf {a} =a_{1}mathbf {i} _{1}+a_{2}mathbf {i} _{2}+a_{3}mathbf {i} _{3}} {displaystyle mathbf {a} =a_{1}mathbf {i} _{1}+a_{2}mathbf {i} _{2}+a_{3}mathbf {i} _{3}}
{displaystyle mathbf {b} =b_{1}mathbf {i} _{1}+b_{2}mathbf {i} _{2}+b_{3}mathbf {i} _{3}} {displaystyle mathbf {b} =b_{1}mathbf {i} _{1}+b_{2}mathbf {i} _{2}+b_{3}mathbf {i} _{3}}
şeklinde tanımlanan iki vektör için doğrudan çarpım

{displaystyle mathbf {a} mathbf {b} ,} {displaystyle mathbf {a} mathbf {b} ,} = {displaystyle (a_{1}mathbf {i} _{1}+a_{2}mathbf {i} _{2}+a_{3}mathbf {i} _{3})(b_{1}mathbf {i} _{1}+b_{2}mathbf {i} _{2}+b_{3}mathbf {i} _{3})} {displaystyle (a_{1}mathbf {i} _{1}+a_{2}mathbf {i} _{2}+a_{3}mathbf {i} _{3})(b_{1}mathbf {i} _{1}+b_{2}mathbf {i} _{2}+b_{3}mathbf {i} _{3})}
= {displaystyle a_{1}b_{1}mathbf {i} _{1}mathbf {i} _{1}+a_{1}b_{2}mathbf {i} _{1}mathbf {i} _{2}+a_{1}b_{3}mathbf {i} _{1}mathbf {i} _{3}} {displaystyle a_{1}b_{1}mathbf {i} _{1}mathbf {i} _{1}+a_{1}b_{2}mathbf {i} _{1}mathbf {i} _{2}+a_{1}b_{3}mathbf {i} _{1}mathbf {i} _{3}}
+ {displaystyle a_{2}b_{1}mathbf {i} _{2}mathbf {i} _{1}+a_{2}b_{2}mathbf {i} _{2}mathbf {i} _{2}+a_{2}b_{3}mathbf {i} _{2}mathbf {i} _{3}} {displaystyle a_{2}b_{1}mathbf {i} _{2}mathbf {i} _{1}+a_{2}b_{2}mathbf {i} _{2}mathbf {i} _{2}+a_{2}b_{3}mathbf {i} _{2}mathbf {i} _{3}}
+ {displaystyle a_{3}b_{1}mathbf {i} _{3}mathbf {i} _{1}+a_{3}b_{2}mathbf {i} _{3}mathbf {i} _{2}+a_{3}b_{3}mathbf {i} _{3}mathbf {i} _{3}} {displaystyle a_{3}b_{1}mathbf {i} _{3}mathbf {i} _{1}+a_{3}b_{2}mathbf {i} _{3}mathbf {i} _{2}+a_{3}b_{3}mathbf {i} _{3}mathbf {i} _{3}}
olarak elde edilir. Buradaki {displaystyle mathbf {i} _{1}mathbf {i} _{2}} {displaystyle mathbf {i} _{1}mathbf {i} _{2}} gibi birimler yeni birer birimdir, yâni başka bir {displaystyle mathbf {i} } {displaystyle mathbf {i} } cinsinden ifade edilemez. Bu yüzden {displaystyle mathbf {i} _{ij}=mathbf {i} _{i}mathbf {i} _{j}} {displaystyle mathbf {i} _{ij}=mathbf {i} _{i}mathbf {i} _{j}} olarak tanımlandığında

{displaystyle quad } {displaystyle quad } = {displaystyle a_{1}b_{1}mathbf {i} _{11}+a_{1}b_{2}mathbf {i} _{12}+a_{1}b_{3}mathbf {i} _{13}} {displaystyle a_{1}b_{1}mathbf {i} _{11}+a_{1}b_{2}mathbf {i} _{12}+a_{1}b_{3}mathbf {i} _{13}}
+ {displaystyle a_{2}b_{1}mathbf {i} _{21}+a_{2}b_{2}mathbf {i} _{22}+a_{2}b_{3}mathbf {i} _{23}} {displaystyle a_{2}b_{1}mathbf {i} _{21}+a_{2}b_{2}mathbf {i} _{22}+a_{2}b_{3}mathbf {i} _{23}}
+ {displaystyle a_{3}b_{1}mathbf {i} _{31}+a_{3}b_{2}mathbf {i} _{32}+a_{3}b_{3}mathbf {i} _{33}} {displaystyle a_{3}b_{1}mathbf {i} _{31}+a_{3}b_{2}mathbf {i} _{32}+a_{3}b_{3}mathbf {i} _{33}}
elde edilir ki bu da dizey gösterimine tekâbül eder.

Konum (yer) vektörü[değiştir | kaynağı değiştir]

Kartezyen koordinat düzleminde bir konum(yer) vektörü. Vektörün koordinatları: A vektörü = (2,3)
Başlangıç noktası orijin olan vektörlere konum(yer) vektörü denir. Eğer vektör orjinde değilse vektörün uzunluğu ve yönünü değiştirmemek kaydıyla orjine taşıyabiliriz.

Başlangıç noktası O = (0,0), bitiş noktası A = (2,3) olan iki boyutlu bir vektör düşünelim. Bu vektör basit olarak aşağıdaki şekilde gösterilebilir:

{displaystyle {overrightarrow {A}}=(2,3)} {displaystyle {overrightarrow {A}}=(2,3)}
Üç boyutlu kartezyen koordinat sisteminde (veya {displaystyle mathbb {R} ^{3}} {displaystyle mathbb {R} ^{3}}) vektörler, üç skaler sayı ile tanımlanır:

{displaystyle {overrightarrow {G}}=(a,b,c)} {displaystyle {overrightarrow {G}}=(a,b,c)}
Standart temel vektörler[değiştir | kaynağı değiştir]

"i","j","k" temel birim vektörleri.
Birim vektör, uzunluğu 1 birim olan vektörlere denir. Üç boyutlu kartezyen koordinat sisteminde x,y ve z eksenleri üzerinde yer alan üç tane temel birim vektör vardır. Bunlar:

{displaystyle i={mathbf {e} }_{1}=(1,0,0)} {displaystyle i={mathbf {e} }_{1}=(1,0,0)}
{displaystyle j={mathbf {e} }_{2}=(0,1,0)} {displaystyle j={mathbf {e} }_{2}=(0,1,0)}
{displaystyle k={mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)} {displaystyle k={mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)}
ise:

{displaystyle {overrightarrow {G}}=(a,b,c)=a{mathbf {i} }+b{mathbf {j} }+c{mathbf {k} }} {displaystyle {overrightarrow {G}}=(a,b,c)=a{mathbf {i} }+b{mathbf {j} }+c{mathbf {k} }}
Bir vektörün normu[değiştir | kaynağı değiştir]
A vektörünün uzunluğu (normu ya da boyu), ||A|| sembolü ile gösterilir.

"i", "j" ve "k" temel birim vektörleri cinsinden yazılan bir vektörün uzunluk formülü, Pisagor teoreminin bir sonucudur. O halde:

{displaystyle {overrightarrow {G}}=(a,b,c)=a{mathbf {i} }+b{mathbf {j} }+c{mathbf {k} }} {displaystyle {overrightarrow {G}}=(a,b,c)=a{mathbf {i} }+b{mathbf {j} }+c{mathbf {k} }}
Yukarıdaki vektörü ele alırsak:

{displaystyle left|{overrightarrow {G}} ight|={sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}}} {displaystyle left|{overrightarrow {G}} ight|={sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}}}
İki vektörün birbiriyle çarpımı[değiştir | kaynağı değiştir]
{displaystyle {overrightarrow {G}}=(a,b,c)} {displaystyle {overrightarrow {G}}=(a,b,c)}
{displaystyle {overrightarrow {H}}=(d,e,f)} {displaystyle {overrightarrow {H}}=(d,e,f)}
Bu iki vektörü ele alırsak:

İç (Skaler) çarpım ( {displaystyle {overrightarrow {G}}cdot {overrightarrow {H}}} {displaystyle {overrightarrow {G}}cdot {overrightarrow {H}}})[değiştir | kaynağı değiştir]
Nokta çarpım da denilen çarpım yöntemiyle yapılan çarpımdır.

Bileşenleri türünden çarpımı[değiştir | kaynağı değiştir]
Örnek:

{displaystyle {overrightarrow {G}}=(a,b,c)} {displaystyle {overrightarrow {G}}=(a,b,c)}
{displaystyle {overrightarrow {H}}=(d,e,f)} {displaystyle {overrightarrow {H}}=(d,e,f)}
Bu iki vektörü ele alırsak:

{displaystyle {overrightarrow {G}}cdot {overrightarrow {H}}={(a,b,c)}cdot {(d,e,f)}={a}cdot {d}+{b}cdot {e}+{c}cdot {f}} {displaystyle {overrightarrow {G}}cdot {overrightarrow {H}}={(a,b,c)}cdot {(d,e,f)}={a}cdot {d}+{b}cdot {e}+{c}cdot {f}}
Aralarındaki açı türünden çarpımı[değiştir | kaynağı değiştir]

{displaystyle {overrightarrow {A}}} {displaystyle {overrightarrow {A}}} ve {displaystyle {overrightarrow {B}}} {displaystyle {overrightarrow {B}}} vektörleri arasındaki "theta" açısı.
Örnek:

{displaystyle {overrightarrow {G}}=(a,b,c)} {displaystyle {overrightarrow {G}}=(a,b,c)}
{displaystyle {overrightarrow {H}}=(d,e,f)} {displaystyle {overrightarrow {H}}=(d,e,f)}
Bu iki vektörü ele alırsak:

{displaystyle {overrightarrow {G}}cdot {overrightarrow {H}}=left|{overrightarrow {G}} ight|left|{overrightarrow {H}} ight|cos heta } {displaystyle {overrightarrow {G}}cdot {overrightarrow {H}}=left|{overrightarrow {G}} ight|left|{overrightarrow {H}} ight|cos heta }
{displaystyle cos heta } {displaystyle cos heta } 'nın değerini bulmak için:

{displaystyle cos heta ={frac {{overrightarrow {G}}cdot {overrightarrow {H}}}{left|{overrightarrow {G}} ight|left|{overrightarrow {H}} ight|}}} {displaystyle cos heta ={frac {{overrightarrow {G}}cdot {overrightarrow {H}}}{left|{overrightarrow {G}} ight|left|{overrightarrow {H}} ight|}}}
Vektörel çarpım ( {displaystyle {overrightarrow {G}} imes {overrightarrow {H}}} {displaystyle {overrightarrow {G}} imes {overrightarrow {H}}})[değiştir | kaynağı değiştir]
Çapraz çarpım da denilen çarpım yöntemiyle yapılan çarpımdır.

Örnek:

{displaystyle {overrightarrow {G}}=(a,b,c)=a{mathbf {i} }+b{mathbf {j} }+c{mathbf {k} }} {displaystyle {overrightarrow {G}}=(a,b,c)=a{mathbf {i} }+b{mathbf {j} }+c{mathbf {k} }}
{displaystyle {overrightarrow {H}}=(d,e,f)=d{mathbf {i} }+e{mathbf {j} }+f{mathbf {k} }} {displaystyle {overrightarrow {H}}=(d,e,f)=d{mathbf {i} }+e{mathbf {j} }+f{mathbf {k} }}
Bu iki vektörü ele alırsak:

{displaystyle {overrightarrow {G}} imes {overrightarrow {H}}} {displaystyle {overrightarrow {G}} imes {overrightarrow {H}}} {displaystyle ={egin{vmatrix}mathbf {i} &&mathbf {j} &&mathbf {k} \a&&b&&c\d&&e&&fend{vmatrix}}} {displaystyle ={egin{vmatrix}mathbf {i} &&mathbf {j} &&mathbf {k} \a&&b&&c\d&&e&&fend{vmatrix}}}
{displaystyle quad } {displaystyle quad }
Yukarıdaki problem bir determinant problemidir. Sarrus kuralı ile hesaplanı